Dviejų paprastų hipotezių asimptotinio tikrinimo metodas

Iš Markovo proceso tikimybinio mato absoliutaus tolydumo nesudėtingų sąlygų gauname atitinkamų statistinių eksperimentų tikėtinumo santykio pavidalą, kurio asimptotinės savybės susijusios su dviejų paprastų hipotezių asimptotiniais atskyrimo uždaviniais, kai yra taikomas maksimalaus tikėtinumo (Neimono-Pirsono) arba minimakso kriterijus. Tų paprastų hipotezių asimptotinis atskyrimas charakterizuojamas 1-os ir 2-os rūšies klaidos tikimybėmis, kurių asimptotinis elgesys, priklausomai nuo optimalaus statistinio kriterijaus parinkimo, užsirašo dvejomis formulėmis.

Nagrinėsime binarinę statistinių eksperimentų šeimą (Xⁿ, 23ⁿ, {P^f, P^f}), n E N su stebėjimais Xⁿ = (X₁,X₂, ...,X_n), atitinkančiais Markovo grandinę su baigtiniu būsenų skaičiumi, t.y. X_k = X(k), k E N - diskretaus laiko Markovo grandinė su perėjimo tikimybių matrica ir invariantinėmis pradinėmis tikimybėmis:

(O

(i)

Čia r

būsenų skaičius,

nurodo tikimybinį matą.

Uždaviniai:

1) 2)

Stebint Markovo grandinę asimptotiškai patikrinti dvi paprastas hipotezes: taikant maksimalaus tikėtinumo kriterijų, taikant minimakso kriterijų.

1. TEORINE DALIS

1.1 Absoliutus matų tolydumas

Tarkime, kad turime išmatuojamą erdvę { fl, A} ir du matus P" ir P" joje.

1.1.1  APIBRĖŽIMAS: Jei iš lygybės P"(A) = 0, A G A išplaukia P" (A) = 0 , tai

sakome, kad matas P_x yra absoliučiai tolydus mato P₀ atžvilgiu. Žymime P" « P".

1.1.2  TEOREMA: (Radono-Nikodimo [8]) Jei P" ir P" yra matai išmatuojamoje
erdvėje { fl, A} , matas P" yra u-baigtinis, o matas P" - absoliučiai tolydus mato P" atžvilgiu,
tai egzistuoja neneigiama A - išmatuojama funkcija f , kiekvienai A G A tenkinanti lygybę:

P"(A) = f /(w)Poⁿ( dw).

Ja

Jei matas P_x yra u-baigtinis, tai funkcija f yra beveik visur baigtinė. Jei be funkcijos f yra dar ir kita A - išmatuojama funkcija g, visoms A G A tenkinanti lygybę:

P"(A) = f #(w)Po*( dw), Ja

tai funkcijos f ir g yra beveik visur lygios mato P" atžvilgiu.

Funkcija f teoremoje dažnai vadinama mato P_x Radono-Nikodino išvestine mato P"

dPⁿ

atžvilgiu ir žymima —\.

aP₀

Jei P" ir P" yra du baigtiniai tikimybiniai matai, nusakyti formulėmis:
Po"(A ) = V p(x d,      A G 3300, kur X = { x ₁ ,x₂                         x_n} ,

i\Xi&a

čia p(Xj) > 0, t = 1, 2,. . .,n;

P"(A ) = V (7(y_f),      A G 93( Y), kur Y = {y_x ,y₂                y_n},

čia gOf)

, tada P^f « P₀ⁿ, jei X = F, t.y.

Šiuo atveju galime rašyti ir

dPf      _ q(x)

dpf ^(x) = KX)^,xgX"

Tarkime, kad turime tikimybinę erdvę ( fl, B , P ) ir atsitiktinį dydį Xⁿ = X(w), w G /2. Sakykime, kad funkcija #(x) =       ,x₂ ,. . -,x_n) yra tolydi pagal visus savo argumentus.

1.1.3 APIBRĖŽIMAS: Jei Xⁿ = (X_x ,X₂ ,. . .,X_n) yra diskretus atsitiktinis vektorius,

tai

E #00 =^^. ■ -^^(^xi i,^xi z- ■ -,^xin)"P(Xi = Xf ₁ ,X₂ = Xj₂ ,. . .,X_n = XjJ, ⁽ 1 ⁾

kur Xj _fc, kai t _k = 1, 2 ,. . . yra galimos X_fc reikšmės, kur k = 1, 2,. . .,n, o E žymi matematinį vidurkį mato P atžvilgiu.

O jei diskretus atsitiktinis vektorius yra Markovo grandinė su baigtiniu būsenų skaičiumi, tai teisinga tokia lygybė:

r          r

^E #^(X1 ^,X2 ^{, .} ■ -^,Xn⁾ =

(                           )

1.2 Statistiniai eksperimentai

Kai turime statistinių eksperimentų šeimą (Xⁿ,'žBⁿ,{Po,PĮ¹}), n E N su stebėjimais Xⁿ = (X_±,X₂, ..-,X_n) atitinkančiais Markovo grandinę su baigtiniu būsenų skaičiumi, t.y. X_k = X(k), k E N yra diskretus laiko Markovo grandinė su perėjimo tikimybių matrica su invariantinėmis pradinėmis tikimybėmis:

^{P( 1} '=    P i -    P i 2    P i 3       ■    P ir    ^,        P⁽ H ^Vf j ■ \^p r -    ^pr 2    ^p r 3    ^''    ^prr'

Čia r - būsenų skaičius, i = 0,1 - nurodo tikimybinį matą.

Akivaizdu, kad jei abiejų perėjimo tikimybių matricų tie patys elementai teigiami, t.y.

pfk^O, i = 0,1, j,k = 1, ... ,r ,   tada   skirtingas   perėjimo   tikimybių   matricas

atitinkantys Markovo grandinės tikimybiniai matai Pⁿ ir yra ekvivalentus ( PĮ¹) ir atitinkama Radono-Nikodino [8] išvestinė turi pavidalą:

(  )

1.3 Markovo grandinės. Pagrindinės sąvokos

Susipažinsime su pagrindinėmis sąvokomis, kurios pateiktos [8] knygoje.

Nagrinėsime atsitiktinį procesą X(t), t ET, apibrėžtą tikimybinėje erdvėje (22 ,A, P), įgyjantį reikšmes iš mačios erdvės {f, E}. Laikysim T = { 0, 1,...} , o būsenų erdvę r, r E N. Būsenas žymėsim tiesiog natūriniais skaičiais.

1.3.1 APIBRĖŽIMAS: Procesas yra Markovo grandinė (diskrečiojo laiko Markovo
procesas), jei bet kuriam natūraliajam skaičiui n ir bet kuriam k, j₀,j\,... ,j_n_₂,j E f, teisingos
lygybės:

P (X(n) = k | X(0) = j₀, X(1) = j₁,X(n - 2) = j_n_₂, X(n - 2) = j) =)
= P( X (n) = k\X (n -1) = j) =                                          '

(2) tikimybė yra perėjimo iš 7-osios į k-ąją būseną tikimybė.

1.3.2 APIBRĖŽIMAS: Matrica

vadinama perėjimo matrica, kur n E N. ZfcPyA: * = 1, kai sumuojama pagal visas galimas būsenas.

1.3.3 APIBRĖŽIMAS: Kiekviena kvadratinė matrica, sudaryta iš neneigiamų elementų, vadinama stochastine, jei kiekvienos jos eilutės elementų suma yra lygi vienam.

Pažymėsime

P(X(0) = k)=pl      k = 1,2     

Šios tikimybės vadinamos pradinėmis tikimybėmis. Ir čia

£p* = 1-      ( ³ )

k

Nagrinėjant Markovo grandines, dažnai vartojama šitokia terminologija. Kalbama apie fizinę sistemą, kuri gali būti vienoje iš būsenų, sunumeruotų skaičiais 1,2,... . Pradiniu laiko

momentu 0 ji su tikimybe pj° gali būti k-ojoje būsenoje. Laiko momentais 1,2,... ji gali su tam tikromis tikimybėmis pereiti iš vienų būsenų į kitas. Tikimybė laiko momentu n patekti į k-ąją būseną, kai žinoma visa ankstesnė sistemos evoliucija, priklauso tik nuo to, kokioje būsenoje ji buvo n-1 laiko momentu. Papildoma informacija apie ankstesnę sistemos evoliuciją nekeičia tos tikimybės.

1.3.4 APIBRĖŽIMAS: Markovo grandinė yra homogeninė, jei tikimybės py_fc = py _k

nepriklauso nuo n. Jei būsenų skaičius yra baigtinis, tai grandinė vadinama baigtine; jei būsenų aibė skaiti, tai ir grandinė vadinama skaičia.

Nagrinėsime homogeninę grandinę su perėjimo matrica P = (pyfc). Ši matrica nusako sistemos būsenos pasikeitimą vienu žingsniu, t.y. nusako tikimybes sistemai patekti į kurią nors k-ąją būseną w-tuoju laiko momentu, jei (w-1)-uoju laiko momentu ji buvo kurioje nors /-ojoje būsenoje. Apskaičiuosime tikimybę pereiti iš7-osios būsenos į k-ąją būseną per n laiko tarpų - n žingsnių. Pažymėkime tą tikimybę

p_yfc(n) = P(X(n) = k | X( 0)=y ),

o jų matricą

( )      ( )

Visus perėjimus iš 7-osios būsenos į k-ąją būseną per n + n₂ laiko tarpų suskaidysim į klases: 1) sistema iš 7-osios būsenos per pirmuosius n ₁ laiko tarpų pereina į pirmąją būseną, o per n₂ laiko tarpų iš pirmosios būsenos pereina į k-ąją būseną; 2) per n ₁ tarpų sistema iš 7-osios būsenos pereina į antrąją būseną, o per laiko tarpų iš antrosios būsenos pereina į k-ąją būseną ir t.t. Iš pilnosios tikimybinės formulės ir grandinės homogeniškumo išplaukia

m

čia sumuojama pagal visas būsenas. Iš šių lygybių, pagal matricų daugybos apibrėžimą, gausime

(n i + n₂ ) = P(n i)P(n₂ )

Taigi

( )     ( )       ( )    ( )

Vadinasi,

( )

(4) formulė teisinga ir tada, kai n ₁ > 0 ,n ₂ > 0, jei laikome

- i¹'^kai J ^{= k}> ^{Pi fc( 0 )}=^{ 0 ,k a t y* k .

Žinodami perėjimo ir pradines tikimybes, nesunkiai galime rasti tikimybę p _fc(n) = P(X(n) = k), kad sistema laiko momentu n bus &-ojoje būsenoje. Samprotaudami taip pat, kaip ir (4) formulės įrodyme, gauname

P fc(n i + n 2⁾ = y Py⁽n i ⁾Py_fc⁽n2 ⁾ . i

Atskiru atveju

j

Šios formulės teisingos, kai n > 0, n₂ > 0, n > 0.

Žinodami pradines ir perėjimo tikimybes, galime rasti ir Markovo grandinės
baigtiniamačius pasiskirstymus. Pasirinkim laiko momentus                                                       ir būsenas

k -į , k ₂,. . ., k_m. Apskaičiuokime tikimybę

P{X⁽n ⁾ = k i ,X⁽n2 ⁾ = k2 ,.. .,X⁽n_m⁾ = k_m} .

Iš grandinės apibrėžimo išplaukia

P{X (n) = k_l\X (n₂) = k₂,..., X (n_m ) = k_m, X (n) = k_l, X (n₂) = k₂,..., X (n_m__l) = k_m__l) =

= p  , (n — n ,).

km—km      m        m—1 /

Iš čia

P{X (n) = k\X (n₂) = k₂,..., X (nm) = km} = = P{X (n) = K, X (n₂) = k₂,..., X (nm—_l) = kmJPk_m__lkm (nm — nm—i).

Analogiškai

P{X(n) = K \X(n₂) = k₂,..,X(n_m —1) = k_m—_x} =

= ^{P{X (n)} = K ^{X (n}2) = ^k2^,...' ^{X (n}m—2) = ^km—2^}Pkm—2km —Mm—1 ^{— Yl}m—2)^.

Samprotaudami taip pat ir toliau, gauname

^P{X(ni ⁾ = ^k1^{\ X (n}2 ⁾ = ^k2^{,.. X (n}m ⁾ = ^km^} = ^Pk₁ ⁽ⁿi ^)p_kk₂ ⁽ⁿ2 ^{— n).. .}I^Pk^₁k_m ⁽ⁿm ^{— n}m—1⁾ •

Markovo grandinių teorijoje svarbu atsakyti į šitokį klausimą. Sakykim, kad duoti neneigiami skaičiai p£, tenkinantys (3) sąlygą, ir stochastinė matrica (pjk). Kyla klausimas, ar egzistuoja homogeninė Markovo grandinė, kurios pradinės tikimybės p£ ir perėjimo tikimybės - skaičiai py _k. Į šį klausimą galima atsakyti teigiamai.

1.3.5. TEOREMA (ergotinė) [12]: Tarkime, kad P = (p_tJ)  perėjimo tikimybių

matrica, su baigtiniu būsenų skaičiumi r, a)    jei yra toks skaičius n₀, kad

mi.np ij(n₀ ) >0,                    ( 5 )

i.j

tai egzistuoja skaičiai                                 tokie, kad

r

TZj >0,        ^ TZj = 1       ( 6 )

7=1

ir kiekvienam i G { 1, 2 ,. . .,r}

p ij⁽n⁾ -> n j,      n -> oo .  ( 7 )

b)             Atvirkščiai, jei egzistuoja skaičiai n₁ ,n₂,...,n_r, tenkinantys sąlygas (6) ir (7) , tai galime rasti skaičių n₀ tokį, kad tenkintų (5) sąlygą.

c)              Skaičiai n ₁, n₂,..., n_r, tenkina lygčių sistemą

r

n j             t p _ų, j = 1,2,.. .,r.  ( 8 )

¿=1

Skaičiai n ₁, n₂,..., n_r, tenkinantys (6) ir (8) lygčių sistemą yra vadinami stacionariuoju arba invariantiniu perėjimo tikimybių matricos P skirstiniu. Jei tie skaičiai yra imami kaip pradinės tikimybės, tai šis skirstinys bus nepriklausomas nuo laiko:

nj = P(X_± =j) ... = P(X_n =j), j = 1,2         r.

Kartu Markovo grandinė su tokiomis (stacionariomis) pradinėmis tikimybėmis bus stacionari, t.y. bendras vektoriaus (X_k,X_k+1,...,X_k+1) skirstinys nepriklauso nuo k dėl visų l (kai k + l<n).

Pavyzdžiui, jei turime perėjimo tikimybių matricą

⁽P21   P22)'

tai invariantinės pradinės tikimybės (       ) turi tenkinti lygčių sistemą:

fTli = ⁿi^p 11 + ⁿ2 ^p21 lⁿ2 = ⁿ i^p 12 + ⁿ2^p2 2

Išsprendę šią sistemą ir atsižvelgę į sąlygą, kai n₀ + n ₁ = 1, gauname, kad vienintelis stacionarus sprendinys užsirašo formulėmis:

PASTABA: Kai turime Markovo grandinę su trimis būsenomis, tai stacionarus skirstinys (n-^,n₂,n₃) randamas iš lygčių sistemos:

fn₁ = 77-iPn + n₂p₂₁ + n₃p₃₁, {ⁿ2 = ⁿ ip 1 2 + ⁿ 2P 2 2 + ⁿ 3P 3