Negęstančios sinusoidės polių įverčiai

Šiame eksperimente tiriama, kaip negęstančios sinusoidės polių įverčiai, gauti klasikiniu Prony metodu ir Prony metodu su priešfiltriu, išsidėsto vienetinio apskritimo atžvilgiu ir šio išsidėstymo priklausomybė nuo signalo-triukšmo santykio. Nagrinėjamas modelis yra toks:

v_n = sinwn + e_n   (n = 0,1,k,N -1),

čia w = 0.1n, o {e_n} yra balto normaliojo triukšmo seka su nuliniu vidurkiu ir dispersija G². Duomenų skaičius N = 100. Buvo atlikta šimtas eksperimentų. Kiekviename eksperimente sinusoidė buvo užtriukšminta konkrečia triukšmo realizacija fiksuotai signalo-triukšmo santykio reikšmei. Žemiau pateiktuose grafikuose parodytos tikrosios polių reikšmės ir jų įverčiai, esant įvairioms signalo-triukšmo santykio reikšmėms.

c)                                                                                                  d)

Brėž. 4.13. Poliai ir jų įverčiai, gauti klasikiniu Prony metodu ir Prony metodu su priešfiltriu ('o'=poliai, '.'=polių įverčiai (žali taškai - klasikinis Prony metodas, juodi - Prony metodas su priešfiltriu). SNR reikšmės yra tokios: a) 15 dB, b) 20 dB, c) 25 dB, d) 30 dB.

Šiame eksperimente tiriama, kaip negęstančių sinusoidžių sumos polių įverčiai, gauti klasikiniu Prony metodu ir Prony metodu su priešfiltriu, išsidėsto vienetinio apskritimo atžvilgiu ir, kaip šis išsidėstymas priklauso nuo signalo-triukšmo santykio. Nagrinėjamas modelis yra toks:

v_n = sinw₁n + sinw₂n + e_n   (n = 0,1,k,N -1),

čia w₁ = 0.1n, w₂ = 0.4n, o {e_n} yra balto normaliojo triukšmo seka su nuliniu vidurkiu ir dispersija

a². Duomenų skaičius N = 100. Buvo atlikta šimtas eksperimentų. Kiekviename eksperimente sinusoidžių suma buvo užtriukšminta konkrečia triukšmo realizacija fiksuotai signalo-triukšmo santykio reikšmei. Žemiau pateiktuose grafikuose parodytos tikrosios polių reikšmės ir jų įverčiai, esant įvairioms signalo-triukšmo santykio reikšmėms. Palyginimui grafikuose taip pat yra pateikti polių įverčiai, gauti klasikiniu Prony metodu. Iš šių grafikų matome, kad Prony metodu su priešfiltriu efektyviai eliminuoja triukšmo įtaką. Tuo tarpu klasikiniam Prony metodui reikia gana aukšto signalo-triukšmo santykio, norint gauti patenkinamus polių įverčius.

c)                                                                                                    d)

Brėž. 4.14. Poliai ir jų įverčiai, gauti klasikinius Prony metodu ir Prony metodu su priešfiltriu ('o'=poliai, '.'=polių įverčiai (žali taškai- Prony metodas, juodi taškai- Prony meto­das su priešfiltriu)). SNR reikšmės yra tokios: a)15 dB, b) 20 dB, c) 25 dB ir d) 30 dB.

Nagrinėjamas modelis yra toks:

v_n = exp(Xn) sin wn + e_n   (n = 0,1,..., N -1), čia w = 0.2n,   X = -0.01, o {e_n} yra balto normaliojo triukšmo seka su nuliniu vidurkiu ir dispersija

a². Duomenų skaičius N = 100. Buvo atlikta šimtas eksperimentų. Kiekviename eksperimente sinusoidė buvo užtriukšminta konkrečia triukšmo realizacija fiksuotai signalo-triukšmo santykio reikšmei. Panaudojus Prony metodą su priešfiltriu buvo gauti gesimo koeficiento ir dažnio įverčiai. Suvidurkinti gesimo koeficiento ir dažnio įverčiai parodyti brėžinyje. Palyginimo dėlei, brėžinyje taip pat pateikti suvidurkinti gesimo koeficiento ir dažnio įverčiai, gauti klasikiniu Prony metodu. Iš šio brėžinio matome, kad Prony metodas su priešfiltriu pakankamai gerai įvertina gesimo koeficientą bei dažnį, ir esant mažesnėms signalo-triukšmo santykio reikšmėms. Taip yra todėl, kad šiame metode stengiamasi iš anksto sumažinti triukšmo įtaką, jį nufiltruojant specialiu filtru. Tuo tarpu klasikiniam Prony metodui reikia didesnių signalo-triukšmo santykio reikšmių, norint pasiekti geresnį įvertinimo tikslumą.

Brėž. 4.15. Gesimo koeficiento ir dažnio įverčių, gautų klasikiniu Prony metodu ir Pro-ny metodu su priešfiltriu, priklausomybė nuo signalo-triukšmo santykio. Ištisinėmis rau­donomis linijomis parodytos tikroji gesimo koeficiento reikšmė X=-0.01 ir tikroji dažnio reikšmė w=0.2n= 0.6283. Žali taškai reiškia gesimo koeficiento ir dažnio įverčius, gautus klasikiniu Prony metodu, o juodi kryžiukai - gesimo koeficiento ir dažnio įverčius, gau­tus Prony metodu su priešfiltriu. Vaizdumo dėlei taškai sujungti tiesės atkarpomis. Abs-cisių ašyje atidėtos signalo-triukšmo santykio reikšmės, matuojamos decibelais (dB).

Nagrinėjamas modelis yra toks:

v_n = exp(A₁n) sin w₁n + exp(/i₂n) sin w₂n + e_n   (n = 0,1, k , N -1),

čia w₁ = 0.2n, w₂ = 0.45n, \ = -0.01, X₂ = -0.02, o {e_n} yra balto normaliojo triukšmo seka su

nuliniu vidurkiu ir dispersija G. Duomenų skaičius N=100. Kiekviename eksperimente sinusoidžių suma buvo užtriukšminta konkrečia triukšmo realizacija fiksuotai signalo-triukšmo santykio reikšmei. Panaudojus Prony metodą su priešfiltriu, buvo gauti gesimo koeficientai ir dažnio įverčiai. Suvidurkinti gesimo koeficientai ir dažnio įverčiai parodyti brėžinyje 4.16. Iš šio brėžinio matome, kad Prony metodas su priešfiltriu gana gerai įvertina gesimo koeficientus ir dažnius, jau esant ir mažesnėms signalo-triukšmo santykio reikšmėms. Tuo tarpu klasikiniam Prony metodui reikia didesnių SNR reikšmių, norint pasiekti geresnį įvertinimo tikslumą.

Brėž. 4.16. Gesimo koeficiento ir dažnio įverčių, gautų klasikiniu Prony metodu ir Pro-ny metodu su priešfiltriu, priklausomybė nuo signalo-triukšmo santykio. Iš­tisinėmis raudonomis linijomis parodytos tikrosios gesimo koeficientų reikš­mės A,₁=-0.01, A,₂=-0.02 ir tikrosios dažnių reikšmės w₁=0.2n= 0.6283, w₂=0.45n= 1.4137. Žali taškai reiškia gesimo koeficientų ir dažnių įverčius, gautus klasikiniu Prony metodu, o juodi kryžiukai - gesimo koeficientų ir dažnių įverčius, gautus Prony metodu su priešfiltriu. Vaizdumo dėlei taškai sujungti tiesės atkarpomis. Abscisių ašyje atidėtos signalo-triukšmo santykio reikšmės, matuojamos decibelais (dB).

Šiame eksperimente tiriama, kaip gęstančios sinusoidės polių įverčiai, gauti klasikiniu Prony metodu ir Prony metodu su priešfiltriu, išsidėsto vienetinio apskritimo atžvilgiu ir šio išsidėstymo priklausomybė nuo signalo-triukšmo santykio. Nagrinėjamas modelis yra toks:

v_n = exp(Xn)sinwn + e_n   (n = 0,1,k,N -1),

čia X = -0.2, w = 0.1n, o {e_n} yra balto normaliojo triukšmo seka su nuliniu vidurkiu ir dispersija a².

a)                                                                                                  b)

Duomenų skaičius N=100. Buvo atlikta šimtas eksperimentų. Kiekviename eksperimente sinusoidė buvo užtriukšminta konkrečia triukšmo realizacija fiksuotai signalo-triukšmo santykio reikšmei. Žemiau pateiktuose grafikuose parodytos tikrosios polių reikšmės ir jų įverčiai, esant įvairioms signalo-triukšmo santykio reikšmėms.

c)                                                                                                  d)

Brėž. 4.17. Poliai ir jų įverčiai, gauti klasikiniu Prony metodu ir Prony metodu su priešfiltriu ('o'=poliai, '.'=polių įverčiai (žali taškai - klasikinis Prony metodas, juodi - Prony metodas su priešfiltriu). SNR reikšmės yra tokios: a) 15 dB, b) 20 dB, c) 25 dB, d) 30 dB.

Šiame eksperimente tiriama, kaip gęstančių sinusoidžių sumos polių įverčiai, gauti klasikiniu Prony metodu ir Prony metodu su priešfiltriu, išsidėsto vienetinio apskritimo atžvilgiu ir, kaip šis išsidėstymas priklauso nuo signalo-triukšmo santykio. Nagrinėjamas modelis yra toks:

v_n = exp(Ą₁n)sin w₁n + exp(X₂n)sin w₂n + e_n   (n = 0,1,k,N -1),

čia Ą = -0.05, w₁ = O.br, A₂ = -0.1, w₂ = 0.4;r, o {e_n} yra balto normaliojo triukšmo seka su nuliniu

a)                                                                                                  b)

vidurkiu ir dispersija o². Duomenų skaičius N=100. Buvo atlikta šimtas eksperimentų. Kiekviename eksperimente sinusoidžių suma buvo užtriukšminta konkrečia triukšmo realizacija fiksuotai signalo-triukšmo santykio reikšmei. Žemiau pateiktuose grafikuose parodytos tikrosios polių reikšmės ir jų įverčiai, esant įvairioms signalo-triukšmo santykio reikšmėms.

c)                                                                                                  d)

Brėž. 4.16. Poliai ir jų įverčiai, gauti klasikiniu Prony metodu ir Prony metodu su priešfiltriu ('o'=poliai, '.'=polių įverčiai (žali taškai - klasikinis Prony metodas, juodi - Prony metodas su priešfiltriu). SNR reikšmės yra tokios: a) 15 dB, b) 20 dB, c) 25 dB, d) 30 dB.

V. Išvados

Darbe nagrinėjami vadinamieji eksponentiniai-sinusiniai modeliai. Buvo ištirta Prony klasės metodų panaudojimas šių modelių parametrų įvertinimui galimybė. Eksperimentai parodė, kad klasikinis Prony metodas neblogai įvertina šių modelių parametrus, esant didesnėms signalo-triukšmo santykio reikšmėms. Tačiau, kai signalo-triukšmo santykis mažėja, klasikinio Prony metodo įverčiai pasislenka nuo tikrųjų parametrų reikšmių.

Modeliavimo rezultatai rodo, kad Prony metodas su priešfiltriu turi du privalumus, lyginant su klasikiniu Prony metodu:

1.      Prony metodas su priešfiltriu duoda tikslesnius parametrų įverčius, esant mažesnėms signalo-triukšmo santykio reikšmėms.

2.      Prony metodas su priešfiltriu nėra toks jautrus triukšmui, kaip klasikinis Prony metodas.

Klasikinį Prony metodą galima rekomenduoti naudoti tais atvejais, kai signalo-triukšmo santykis yra pakankamai didelis, o esant mažesnėms signalo-triukšmo santykio reikšmėms (mažiau už 20 dB) reikėtų naudoti Prony metodą su priešfilriu.

Literatura

1.      Kumaresan, R., and Y. Feng (1991). FIR prefiltering improves Prony's mothod. IEEE Trans. on Signal Processing, 39(3), 736 - 741.

2.      Parthasarathy, S., and D. W. Tufts (1985). Maximum likelihood estimation of parameters of exponentially damped sinusoids. Proc. IEEE, 73, 1528 - 1530.

3.      Stoica, P., R. Moses, B. Friedlander and T. Soderstrom (1989). Maximum likelihood estimation of the parameters of multiple sinusoids from noisy measurements. IEEE Trans. on Acoust,. Speech, Signal Processing, 37, 378 - 392.

4.      Yau, S. F., and Y. Bresler (1992). A compact Cramer-Rao bound expression for parametric estimation of superimposed signals. IEEE Trans. on SignalPrcessing, 40, 1226 - 1230.

5.      Stoica, P., and A. Nehorai (1989). MUSIC, maximum likelihood, and the Cramer-Rao bound. IEEE Trans. on Acoust., Speech, Signal Processing, 37, 720 - 741.

6.      Steedly, W. M., and R. L. Moses (1993). The Cramer-Rao bound of pole and amplitude coeficient estimates of damped exponential signals in noise. IEEE Trans. on Signal Processing, 41, 1305 - 1318.

7.      Prony, G. R. B. (1795). Essai experimental et analytique, ... J. de L'Ecole Polytechnique, 1(2), 24 - 76.

8.      Hildebrand, F. B. (1959). Introduction to Numerical Analysis. McGraw-Hill, New York. Kay, S. M., and S. L. Marple, Jr. (1981). Spectrum analysis - a modern perspective. Proc. IEEE, 69, 1380 - 1419.

9.      Van Blaricum, M. L., and R. Mittra (1982). Problems and solutions associated with Prony's method for processing transient data. IEEE Trans. Antennas and Propagation, 26, 174 -

182.

Santrauka

Darbe tiriama Prony klasės metodų taikymo parametriniam signalų įvertinimui galimybė. Nagrinėjami vadinamieji eksponentiniai-sinusiniai modeliai. Šie modeliai apima gęstančias eksponentes, gęstančias ir negęstančias sinusoides, bei įvairias jų adityvines kombinacijas.

Šiame darbe išnagrinėti du pagrindiniai metodai: klasikinis Prony metodas ir Prony metodas su priešfiltriu. Išvestos formulės, skirtos negęstančių ir gęstančių sinusoidžių parametrų įvertinimui klasikiniu Prony metodu. Pateiktas filtro, naudojamo Prony metodu su priešfiltriu, impulsinės reakcijos apskaičiavimo algoritmas. Sukurta programinė įranga, skirta eksponentinių-sinusinių modelių įvertinimui Prony klasės metodais (MATLAB'o terpėje). Naudojantis sukurtąja programine įranga, atlikti skaitiniai eksperimentai. Remiantis modeliavimo rezultatais, suformuluotos išvados apie klasikinio Prony metodo ir Prony metodo su priešfiltriu galimybės.