Palūkanos - tai kompensacija už laikiną kapitalo netekimą

Palūkanos - tai kompensacija už laikiną kapitalo netekimą ir už riziką, susijusią su kapitalo vertės pakitimu arba praradimu per skolinimo laikotarpį. Kitaip tariant, tai kompensacija, kurią kapitalo skolininkas moka kapitalo skolintojui už jo naudojimą.

Palūkanos gali būti traktuojamos, kaip renta (nuoma), kurias skolininkas moka skolintojui už patirtus nuostolius per kapitalo skolinimo laikotarpį. Kapitalas ir palūkanos nebūtinai turi būti išreikštos ta pačia preke. Tarkime, ūkininkas Petras paskolino ūkininkei Marytei traktorių miežių derliui nuimti, o ši Petrui palūkanas už traktoriaus naudojimą sumokėjo kviečiais. Šiame pavyzdyje traktorius yra kapitalas, o dalis kviečių, kuriuos Marytė sumokėjo Petrui, yra palūkanos. Tačiau dažniausiai palūkanos yra išreiškiamos pinigais.

Palūkanų norma yra vadinamas procentų dydis nuo kapitalo vertės per nustatytą laiko periodą, paprastai per metus.

Palūkanų norma yra išreiškiama dešimtainiu skaičiumi. Jei procentų dydis yra p%, tai procentų

.p

normą žymėsime i =-^— .

100

Palūkanų norma i susideda iš keturių komponenčių:

i = m + e +     ] ₊ f (n),

čia:

n - realioji palūkanų norma. Tai yra kompensacija už vartojimo atidėjimą, kadangi skolintojas turi atidėti prikimus nuo paskolinimo iki kapitalo grąžinimo.

6 - rizikos faktorius. Šis dėmuo yra kompensacija kapitalo skolintojui už neapibrėžtumą: ar palūkanos ir pagrindinė suma bus grąžinta suėjus terminui ar ne.

EE\~k~) - laukiamas kainos pokytis. Šis narys yra kompensacija už laukiamą perkamosios galios sumažėjimą dėl infliacijos, k - kainų indeksas.

f (n) - narys, rodantis skolos terminą, kol nesugrąžinta skola. Bendruoju atveju, ilgesnio laikotarpio skolai reikia didesnių palūkanų, nes galima didesnė rizika.

1.1.2.  PAPRASTOSIOS IR SUDĖTINĖS PALŪKANOS

Nagrinėkim vieneto dydžio pradinio kapitalo investiciją, laikydami, kad per kiekvieną periodą priauga vienoda suma palūkanų, skaičiuojamų nuo pradinio kapitalo. Pirmojo periodo pabaigoje nuo vienetinio dydžio susikaups 1 + i vertė, antrojo periodo pabaigoje jau turėsime 1 + i + i = 1 + 2i susikaupusią vertę ir t.t. todėl po t periodų gausime susikaupusią vertę lygią 1 + it, kai t e {0,1,2...}. Palūkanų kaupimą pagal tokią formule ir vadinsime paprastųjų palūkanų skaičiavimu. Dydį i vadinsime paprastųjų palūkanų norma per periodą (dažniausiai per metus).

Paprastosios palūkanos turi savybę: uždirbtos palūkanos per periodą nėra iš naujo investuojamos kitame periode, nuo kurių vėl būtų uždirbamos palūkanos. Pvz. nagrinėkime 100 Lt investiciją dviems metams su 10% paprastųjų palūkanų. Mokant paprastąsias palūkanas investuotojas kiekvienų metų pabaigoje gaus papildomai po 10Lt. Iš tikrųjų, po pirmų metų jis turės 110 Lt, kurie galėt būti investuojami kitame periode. Naudingiau būtų, investuoti padidėjusią 110 Lt sumą sekantiems metams ir vietoje 10 Lt gauti antrojo periodo pabaigoje 11 Lt. Sudėtinių palūkanų teorija nagrinėja šią problemą, laikydama, kad kiekvieno sekančio periodo pradžioje susikaupusios palūkanos per praėjusį periodą automatiškai investuojamos kartu su pradiniu kapitalu. Žodis „sudėtinės" reiškia, kad palūkanos vėl investuojamos, t.y. nuo jų vėl skaičiuojamos palūkanos. Tokiu būdu vienetinio dydžio

investicija po t metų padidėja dydžiu (1 + i)^t, kai t e {0,1,2,...}

1.1.3.  NOMINALIOJI SUDĖTINIŲ PALŪKANŲ NORMA

Palūkanos įgyja prasmę tik tuomet, kai jos susietos su laiko intervalu. Jei tikroji palūkanų norma

išreikšta per — metų, tai metinė palūkanų norma gaunama šį dydį padauginus iš m. Todėl 2%

m

palūkanų norma per ketvirtį ^ 4 metų j yra lygi 4 • 2% = 8% palūkanų normai per metus. Kai sudėtiniai

procentai priskaičiuojami daugiau negu vieną kartą per metus, tai atitinkanti metinė palūkanų norma vadinama nominaliąja sudėtinių palūkanų norma. Nominalią palūkanų normą, kai sudėtinės palūkanos priskaičiuojamos m kartų (kas pusmetį, kas ketvirtį, mėnesį ar pan.) per metus žymima. Taigi

i^{(m )}

palūkanų norma per metus bus lygi i =------- .

m

1.1.4. PAJAMINGUMO KREIVĖ. PALŪKANŲ NORMŲ LAIKOTARPIO STRUKTŪROS

Bet kurios obligacijos pajamos jos gyvavimo termino pabaigoje glaudžiai susietos su pastovių pajamų vertybinių popierių rinkos sąlygomis. Visos pelno normos šioje rinkoje turi tendenciją keistis kartu. Tačiau ne visų obligacijų pelno normos yra vienodos.

Obligacijų pajamų normų skirtumus iš dalies galima paaiškinti tuo, kad obligacijos turi įvairius kokybinius reitingus. A reitingo obligacija kainuoja brangiau (tuo pačiu turi ir mažesnę pelno normą) už obligaciją su tokiu pačiu įplaukų srautu, bet turinčią žemesnio lygio reitingą. Reitingų lentelė pateikta 1 priede.

Kita savybė, iš dalies paaiškinanti įvairių obligacijų pajamų normų skirtumus, yra obligacijos galiojimo terminas. Paprastai to pačio reitingo ilgos trukmės obligacijos siūlo didesnę pelno (pajamų) normą negu trumpos trukmės obligacijos. Šis faktas pavaizduotas 1.1 pav.

Pajamingumo kreivė

5.50% n

5.00% £ 4.50% ° 4.00% £ 3.50% į| 3.00% °" 2.50% 2.00%

123456789      10

Metai

1.1 pav. Pajamingumo kreivė

Pajamingumo kreivė yra pavaizduota kaip funkcija nuo obligacijos galiojimo trukmės. 1.1 pav. pavaizduota tipiška kreivė, vaizduojanti įvairios trukmės tos pačios klasės obligacijų pajamų normas. Pastebim, kad pajamų norma brėžia glodžią kreivę, kuri palaipsniui kyla, didėjant gyvavimo trukmei. Laike ji turi svyruojantį charakterį, todėl gali įgyti įvairias formas.

Palūkanų normų laikotarpio struktūros teorija sutelkia dėmesį grynai į palūkanų normos nagrinėjimą. Ji remiasi tuo, kad pinigų palūkanų normos dydis priklauso nuo laiko trukmės, kuriai pinigai yra paskolinti, pasiskolinti ar investuoti. Pavyzdžiui, bankai siūlo aukštesnę palūkanų normą už terminuotus 3 metų indėlius negu už indėlius iki pareikalavimo.

1.1.5. EINAMOJO LAIKOTARPIO NORMA

Einamojo laikotarpio norma yra apibrėžiama laiko trukmės struktūra. Einamojo laikotarpio norma s_t yra palūkanų norma tam tikram metų laikotarpiui, ir kuri nustatyta pinigams nuo dabar (t = 0) iki momento t. Ir palūkanos, ir pagrindinė vertė sumokamos laiko momentu t. Pavyzdžiui, s₁ yra metinė palūkanų norma, t. y. norma už pinigus, laikomus 1 metus. Panašiai, s₂ yra palūkanų norma už pinigus, laikomus 2 metus. Normos s_t indeksas nurodo metų skaičių. Tai yra, jei bankas žada mokėti s₂ sudėtinių palūkanų, skaičiuojamų kasmet, už A dydžio 2 metų terminuotą indėlį, tai po dviejų metų bus sumokėtaA(1 + s₂)² pinigų suma. Jūsų pinigai padidėja daugikliu (l + s₂)².

Pagal  susitarimą,  naudojant  einamojo  laikotarpio normas  skaičiuojamos  sudėtinės

palūkanos. Šis susitarimas gali keistis nuo esamos situacijos. Palūkanos gali būti skaičiuojamos m

kratų per metus arba nuolat:

1)   Kasmetinis palūkanų skaičiavimas: (1 + s_t)^t.

r   _s(m) i^mt

_                                                                                1 + (11____ )

2)   Palūkanų skaičiavimas m kartų per metus:       ^v _m '   .

S^{( 00)} t

3)   Nuolat (tolydžiai) skaičiuojamos palūkanos: ^e       .

1.1.6 EINAMOJO LAIKOTARPIO NORMOS NUSTATYMAS

Einamojo laikotarpio normas gali būti nustatomos fiksuojant įvairios galiojimo trukmės nulinio kupono obligacijų pelno normas. Kadangi nulinio kupono obligacija žadama nustatytu laiko momentu ateityje išmokėti fiksuoto dydžio sumą, tai išmokos dydžio santykis su dabartine obligacijos kaina nustato einamojo laikotarpio palūkanų normą iki obligacijos termino suėjimo datos.

Einamojo laikotarpio normų kreivę galima nubrėžti, pasinaudojant nenulinio kupono obligacijų kainomis, pradedant trumpos trukmės ir baigiant ilgos trukmės obligacijomis. Laikykime, kad sudėtinės palūkanos skaičiuojamos vieną kartą metuose (o kuponai mokami kartą per metus). Tiesiogiai stebėdami finansų rinkoje vienų metų palūkanų normą, pavyzdžiui, valstybės iždo išleidžiamų vertybinių popierių normą, pirmiausiai nustatome s1. Toliau nagrinėkime 2 metų obligacijas. Sakykime, kas obligacijos kaina lygi P, nominali vertė yra F ir už ją mokami C dydžio kuponai kiekvienų metų gale. Obligacijos kaina lygi pinigų srauto diskontuotai vertei, todėl

C       C + F

13 ( 1.1 )

1 + S₁    (1 + s ₂)²

Kadangi s₁ reikšmė žinoma, galime išspręsti šią lygtį atžvilgiu s₂ . Taip tęsdami procesą toliau bei nagrinėdami 3 metų, 4 metų ir t. t. obligacijas, rasime s₃, s₄

1.1.7 IŠANKSTINĖS IR TRUMPALAIKĖS NORMOS

Iš einamojo laikotarpio normos apibrėžimo išplaukia dar viena naudinga sąvoka, būtent, išankstinės normos sąvoka. Išankstinė norma yra palūkanų norma, nustatyta pinigams, kurie bus paskolinti tam tikram laikotarpiui ateityje, bet su sąlygomis, sutartomis šiandien.

Šią sąvoką lengviausiai paaiškinti 2 metų laikotarpiui. Tarkime, kad Si ir s₂ yra žinomos. Jei mes

laikysime taupomojoje sąskaitoje 1 Lt 2 metus, tai pagal apibrėžimą sutaupysime (l + s₂ )² Lt. Antra vertus, mes galėjome sąskaitoje laikyti 1 Lt vienerius metus, o po to sukauptą sumą (l + s₁) Lt paskolinti dar vieniems metams. Ši suma uždirbtų iš anksto sutartą (šiuo metu) palūkanų dydį, tarkime, f palūkanų normą. Norma f yra išankstinė palūkanų norma. Galutinė pinigų suma, sukaupta pagal šį taupymo planą, lygi (1 + s₁) • (1 + f) Lt.

Turime du būdus investuoti 1 Lt dvejiems metams. Pirmasis sukaups (1 + s₂)², o antrasis (1 + s₁) • (1 + f) pinigų sumą. Kadangi abu būdai vienodai galimi, tai šios reikšmės turėtų būti lygios.

Todėl

(1 + s₂f = (1 + s,) • (1 + f)

arba

s     (1 + S₂)²      ,

Išankstinė norma išreiškiama per dvi einamąsias palūkanų normas.

Š į palūkanų normų palyginimo principą galima pagrįsti arbitražo argumentu. Jei abu investavimo metodai duotų skirtingas pajamas, tai būtų galimybė padaryti pelną iš karto arba su nuline investicija

garantuotą pelną ateityje. Jei aprašytame pavyzdyje būtų taip, kad (1 + s₁ )(1 + f) > (1 + s₂)², tai reikštų, kad antrasis investavimo būdas duoda daugiau pajamų, negu pirmasis. Tada spekuliantas užuot skolinęs pinigus pagal pirmąjį būdą, pats pasiskolina ir, gautus pinigus perskolindamas pagal antrąjį

būdą, po dvejų metų gauna (l + s₁ )(l + f + s₂ )² dydžio pelną. Ši arbitražo schema gali gauti būti realizuota bet kokio dydžio sumai, todėl teoriškai spekuliantas gali gauti norimą didelį pelną, neturėdamas jokio pradinio kapitalo, nes jis panaudoja skolintus pinigus. Laikoma, kad šios schemos neįmanoma įgyvendinti finansų rinkose, nes ji panaikina prielaidas pelnytis dėl skirtingų palūkanų normų. Todėl abiem investavimo būdais gautos pajamos turi būti lygios. Arbitražo principas panaikina prielaidas spekuliavimui finansų rinkose.

Apibendrinsime išankstinės normos sąvoką tarp bet kurių dviejų skirtingų laiko periodų. Anksčiau naudotą normąf galima pažymėti f₁₂, nes tai išankstinė palūkanų norma tarp 1 ir 2 metų.

Išankstinę normą tarp laiko momentų t_i ir t₂, t_i < t₂ žymėsime f_tpt2. Tai yra palūkanų norma,

nustatyta už pinigų skolinimą momentu t₁ , kurie bus grąžinti (kartu su palūkanomis) momentu t₂. Dažniausiai išankstinės normos, kol neapibrėžtos kitiems laikotarpiams, matuojamos metais.

Teoriškai išankstinės normos gaunamos iš einamųjų normų, kurios yra finansų rinkų normų idealizavimas. Taip apskaičiuotos normos vadinamos teorinėmis išankstinėmis normomis, kurios skiriasi nuo rinkos išankstinių normų.

Teorines išankstines normas mes rasime analogiškai kaip ir f_1}2. Naudodami vienų metų kaupimo periodą, mes galime apibrėžti pagrindines išankstines įvairių periodų normas. Jos randamos iš lygčių

(i + _Sj)J = (i + sj • (i + f_h]y^-\ i < j                                                    ^{( 1.3} )

Išankstinės normos naudojamos prognozuoti einamąsias įvairios trukmės normas ateityje. Žinodami s_its₂ ir s₃ mes galime apskaičiuoti f_i}2 ir f_ij3. Dydis f_i}3 yra palūkanų norma, kuri bus po metų, dviejų metų terminuotam indėliui. Laikoma, kad ši norma lygi dabar tikėtinai einamajai dviejų metų normai s₂ , kuri bus po vienų metų. Todėl, iš einamųjų normų kreivės galima gauti išankstines normas f_i,₂,f_i,3, ■■■f_i,n, kurios nustato laukiamas einamąsias normas s_i ,s₂ , ... , s_n-i (kreivę) po metų.

Trumpalaikės normos yra išankstinės normos, apimančios vieną laiko periodą. Trumpalaikė norma laiko momentu k yra r_k = f_kk+_i, t. y. išankstinė norma nuo k iki k+i.

Einamosios normos s_k yra randamos iš trumpalaikių normų pagal formulę:

(i + s_k)^k = (i + r₀) • (i + r,) ■■■■■ (i + r_k-i)                                                                             ( ^{1.4 )}

Išankstinės normos gali būti apskaičiuotos iš trumpalaikių normų analogišku būdu:

(1 + f_Ų)^J-' = (1 + r_t) • (1 + r+1) •... • (1 + r_M)                               ⁽ 1-5 )

Todėl trumpalaikės normos sudaro tinkamą bazę generuoti visas kitas normas. Jas ypatingai patogu naudoti prognozavimo dinamikoje, nes jos nesikeičia metai po metų, kai tuo tarpu einamosios normos keičiasi. Jei dabar (nuliniu momentu) trumpalaikės normos yra r₀ , r₁ , . . . , r_n-1 , tai po metų trumpalaikės normos bus r₁, r₂, . . . , r_n-1.