Palūkanų normų nustatymui naudojau Lietuvos Respublikos Vyriausybės
išleistus skolinius vertybinius popierius - iždo vekselius ir obligacijos.
Tyrimui atlikti surinkta duomenų bazė: Vyriausybės vertybinių popierių aukcionų
duomenys nuo 1994 metų liepos 19 dienos iki 2004 metų balandžio 24 dienos. Kaip
matome, ankstesniais metais labiau buvo paplitę iždo vekseliai, o vėlesniais
metais vis sparčiau populiarėjo obligacijos. Šiame darbe neįtraukiau kitų
kompanijų obligacijų, kadangi šiuo metu nėra jos labai populiarios, ir dėl
duomenų trūkumo tiesiog neįtrauktos į tolimesnį nagrinėjimą.
Pagrindiniai vertybinius
popierius aprašantys dydžiai yra vertybinio popieriaus trukmė (išleidimo data
ir išpirkimo data), kupono norma ir aukciono metu nustatytas vidutinis
pajamingumas. Pagal paskutinių metų vertybinių popierių duomenis pajamingumo
kreivę vaizduoja 2.1 pav.
Pajamingumo kreivė
5.00%
-, 4.50% -4.00% -3.50% -3.00% -2.50% -2.00% -
2.1. pav. Pajamingumo kreivė.
Kaip galime pastebėti iš
surinktų duomenų lentelėse Obligacijos ir Vekseliai trumpo laikotarpio skolinių vertybinių popierių išleidžiama mažiau negu
ankstesniais metais. Tokią veiksmų kryptį lemia tai, kad stiprėja Lietuvos
ekonomika: skatinamos užsienio investicijos, stabilizavosi nacionalinės
valiutos kursas, normalizuojasi palūkanų normos. Tai puiki dirva išleisti ilgo
laikotarpio skolos vertybinius popierius. Šiuo metu bene populiariausios yra 3,
5, 7 ir 10 metų obligacijos. Belieka įvertinti tarpinių metų obligacijų
pajamingumus. Visi pilkame fone obligacijos pelningumai yra išskaičiuojami iš
pradinių duomenų t.y. obligacijų ir iždo vekselių. Kadangi 1999, 2000 ir 2001
metų ne visi langeliai užpildyti obligacijų pajamingumais tai reiškia, kad tais
metais nebuvo platinamos ilgesnės trukmės vertybiniai popieriai.
2.1.1entelė
Pradiniai duomenys
|
Metai
|
Obligacijų pajamingumas
|
|||||||||
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
|
|
1999 metai
|
13.53%
|
15.43%
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2000 metai
|
10.47%
|
12.37%
|
10.55%
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2001 metai
|
6.17%
|
8.37%
|
7.73%
|
7.38%
|
7.02%
|
7.24%
|
7.45%
|
|
|
|
|
2002 metai
|
3.85%
|
4.37%
|
4.89%
|
5.04%
|
5.20%
|
5.45%
|
5.70%
|
5.74%
|
5.86%
|
5.99%
|
|
2003 metai
|
2.77%
|
3.34%
|
3.90%
|
4.22%
|
4.55%
|
4.64%
|
4.74%
|
4.97%
|
5.09%
|
5.27%
|
|
2004 metai
|
2.08%
|
2.56%
|
3.03%
|
3.35%
|
3.67%
|
4.09%
|
4.23%
|
4.39%
|
4.49%
|
4.68%
|
Kaip matome jau 2001 metais padėtis pagerėjo ir buvo išleistos 7 metų
obligacijos. Tai padaryti gana sudėtinga. Paprasčiausiai galima būtų skaičiuoti
vidurkius ir užpildyti reikiamus lentelės langelius, tačiau tai gana grubus
metodas. Kitus tuščius (baltus) langelius užpildžiau pagal aproksimavimą kreive
metodą. 2002 metais pavyko aprašyti štai tokia kreive
2002 metų
obligacijos pajamingumas094LnM + 0.0379
|
|
6.50% -, 6.00% 5.50% -5.00% 4.50%
4.00% 3.50% 3.00%
123456789 10 Trukmė,
metais
♦ 2002 metų
pajamingumo kreivė
Log. (2002 metų pajamingumo
kreivė)
2.2. pav. 2002
metų obligacijos pajamingumo kreivės aproksimavimas.
2003 metų
obligacijos pajamingumas
re j*
re o.
6.00% 5.00% 4.00% 3.00% 2.00%
4 5 6
7 Trukmė, metais
8
10
-2003 metų pajamingumo kreivė •Log. (2003 metų
pajamingumo kreivė)| = 0 0109l_n(x) + 0 027
2.3. pav. 2003 metų obligacijos pajamingumo kreivės
aproksimavimas
ra
J* O
O.
-2004
metų pajamingumo kreivė -Poly. (2004 metų pajamingumo kreivė) y = -0.0002x2
+ 0.0056x + 0.0155
2.4. pav. 2004 metų obligacijos pajamingumo kreivės
aproksimavimas
Kiekvienais metais
obligacijų pajamingumas vis mažėja, tai stabilios ekonomikos ženklas.
ra
j*
n a.
9.00% 8.00% 7.00% 6.00% 5.00% 4.00%
3.00% 2.00%
2001
- 2004 metų obligacijų pajamingumas
4567
Trukmė, metais
2.5. pav. 2001 - 2004 metų obligacijų pajamingumo
kitimo grafikas
Toks palūkanų obligacijų
pajamingumo įvertinimas nėra visiškai teisingas, bet užtat praktiškas ir duoda
pakenčiamą rezultatą.
Nustatę pajamingumo
kreivę galime įvertinti kitas palūkanų normas. Pagal (1.1), (1.2) ir (1.3)
galime nustatyti einamąsias, išankstines ir trumpalaikes palūkanų normas. Tokiu
būdu gauname
2.2 lentelė
|
|
Trukmė metais
|
||||||||
|
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5 6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
|
Obligacijos
pajamingumas
|
2.08%
|
2.56%
|
3.03%
|
3.35%
|
3.67% 4.01%
|
4.23%
|
4.39%
|
4.49%
|
4.68%
|
|
Einamoji
palūkanų norma
|
2.08%
|
2.56%
|
3.05%
|
3.38%
|
3.72% 4.19%
|
4.34%
|
4.52%
|
4.63%
|
4.83%
|
|
Trumpalaikė palūkanų norma
|
2.08%
|
3.04%
|
4.03%
|
4.38%
|
5.09% 6.56%
|
5.24%
|
5.77%
|
5.51%
|
6.70%
|
Einamąsias normas galima
prognozuoti pagal „prognozavimo dinamiką", pagal (1.6) formulę. Skaičiavimo
rezultatai pateikti 2.3 lentelėje
2.3. lentelė
Pilkam fone pavaizduotos apskaičiuotos einamojo
laikotarpio palūkanų normos iš obligacijų pajamingumo, žemiau prognozuojamos.
Einamojo laikotarpio palūkanų normų
prognozavimas
6.000% n
5.500%
| 5.000% ° 4.500% * 4.000% | 3.500% £ 3.000%
2.500%
2.000%
|
tikrosios normos
|
— —
prognozuojamos 1 metams
|
|
- -
- prognozuojamos 2 metams
|
|
2.6 pav. Einamojo
laikotarpio palūkanų normų prognozavimas
Kaip matome iš 2.6 paveikslo, tikrosios einamojo laikotarpio normos yra
akivaizdžiai mažesnės nei prognozuojamos, pagal „prognozavimo dinamiką"
aprašyta (1.6) formule, normos. Pačio paveikslo užtenka, kad padaryti išvadą,
kad šis prognozavimo būdas netinkamas, kadangi jis ženkliai nukrypsta nuo
tikrovės.
Ne mažiau svarbios ir
išankstinės palūkanų normos. Šias normas galime apskaičiuoti iš einamųjų
palūkanų normų (pagal 1.2 formulę) arba iš trumpalaikių palūkanų normų (pagal
1.5 formulę). Rezultatas pateiktas 2.4 lentelėje.
2.4 lentelė
Išankstinės palūkanų normos
|
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
|
1
|
2.080%
|
2.561%
|
3.050%
|
3.381%
|
3.720%
|
4.188%
|
4.337%
|
4.515%
|
4.625%
|
4.831%
|
|
2
|
3.044%
|
3.538%
|
3.818%
|
4.134%
|
4.614%
|
4.717%
|
4.868%
|
4.948%
|
5.141%
|
|
|
3
|
4.033%
|
4.207%
|
4.499%
|
5.010%
|
5.055%
|
5.175%
|
5.222%
|
5.406%
|
|
|
|
4
|
4.381%
|
4.733%
|
5.338%
|
5.312%
|
5.405%
|
5.422%
|
5.603%
|
|
|
|
|
5
|
5.086%
|
5.820%
|
5.625%
|
5.662%
|
5.631%
|
5.808%
|
|
|
|
|
|
6
|
6.559%
|
5.895%
|
5.855%
|
5.768%
|
5.953%
|
|
|
|
|
|
|
7
|
5.235%
|
5.505%
|
5.506%
|
5.803%
|
|
|
|
|
|
|
|
8
|
5.774%
|
5.641%
|
5.992%
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9
|
5.508%
|
6.102%
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10
|
6.698%
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Matome, kad 2.4 lentelės
pirma eilutė sutampa su esamomis einamosiomis palūkanų normomis, o antroji su
sekančių metų einamosiomis palūkanų normomis ir atitinkamai pan.
Trumpalaikės palūkanų normos turi slenkantį charakterį. Kiekvienais
sekančias metais trumpalaikių palūkanų norma yra lygi ankstesnių metų ilgesnei
vienu intervalu palūkanų normai. Šios normos svyruoja. Jei einamosios ar
išankstinės palūkanų normos normaliomis ekonomikos sąlygomis, esant ilgesniam
skolinimo, skolinimosi ar investavimo laikotarpiui kyla, tai trumpalaikės
normos gali svyruoti. Tai vyksta dėl to, kad būtina išvengti arbitražo
galimybės. Nagrinėjamu atveju trumpalaikės palūkanų normas pavaizduoja 2.7
paveikslas.
2.2 PALŪKANŲ NORMŲ MODELIAVIMAS PAGAL VASICEK ALGORITMĄ
Modeliuojant einamąsias palūkanų normas galima pasinaudoti Vasicek
modeliu. Vasicek modelis sako, jei einamosios palūkanų normos pokyčiai yra
pasiskirstę pagal normalųjį skirstinį, tai einamųjų palūkanų normų pokytis
tenkina (1.2.1) atsitiktinę lygtį, kurios parametrai įvertinami pagal (1.2.2)
lygtį. Pagal duotus duomenis šiuo atveju gauname, kad parametro a reikšmė, t.y.
trendo koeficiento reikšmė lygi 0,4428, o ilgalaikė palūkanų norma b lygi 5,5%.
Modeliavimo rezultatus vaizduoja 2.7 paveikslas.
Palūkanų
normų palyginimas su Vasicek modeliu
5.00% | 4.50% o 4.00% * 3.50% ;§ 3.00% g. 2.50%
2.00%
< —
Vasicek Tikros
2.8 pav. „Tikrųjų" palūkanų normų palyginimas su
modeliuotomis Vasicek modelio
pagalba normomis
Vasicek modelis gana tiksliai atvaizduoja palūkanų normas. Iš grafiko
matosi, kad šios dvi kreivės eina viena pro kitą, t.y. palūkanų normos
sumodeliuotos tinkamai.
2.5 lentelė
Vasicek modeliavimo
rezultatai Metai, palūkanos, nepastovumo parametras
|
|
2.08%
|
1.47%
|
|
1
|
2.54%
|
1.28%
|
|
2
|
2.91%
|
1.13%
|
|
3
|
3.23%
|
0.99%
|
|
4
|
3.49%
|
0.88%
|
|
5
|
3.71%
|
0.79%
|
|
6
|
3.89%
|
0.71%
|
|
7
|
4.05%
|
0.64%
|
|
8
|
4.18%
|
0.59%
|
|
9
|
4.30%
|
0.54%
|
|
10
|
4.40%
|
0.49%
|
Iš lentelės duomenų
pastebime, kaip kinta nepastovumo parametras , jis turi tendenciją mažėti.
Sigma kitimas
|
|
0.02 0.015
0.01
0.005
0 1
2.9 pav. Nepastovumo parametro kitimas
pokytis dr
0.00002
|------------------------------------
0.000018 0.000016 0.000014
0.000012 0.00001 0.000008 0.000006
0.000004 0.000002
2.10. pav. Modeliuoti pokyčiai
2.3 PALŪKANŲ NORMŲ MODELIAVIMAS PAGAL COX, INGERSOLL
IR ROSS (CIR) ALGORITMĄ
Kitas modelis, kurį galima panaudoti modeliuoti einamąsias palūkanų
normas yra Cox, Ingersoll ir Ross (CIR) modelis. Šio modelio esmė tokia: jei einamosios palūkanų normos
pokyčiai yra pasiskirstę pagal normalųjį skirstinį, tai palūkanų normų pokytis
tenkina (1.2.4) atsitiktinę lygtį, kurios parametrai įvertinami pagal (1.2.5)
lygtį. Esamiems duomenims parametrų reikšmes gauname tokias trendo koeficiento
reikšmė - parametro a reikšmė lygi 0,4428, o ilgalaikė palūkanų norma b lygi 5,5%.
Modeliavimo rezultatus vaizduoja 2.9 paveikslas.
2.11 pav.
„Tikrųjų" palūkanų normų palyginimas su modeliuotomis CIR modelio pagalba
normomis
Iš paveikslo galime pastebėti, kad ir šiuo atveju palūkanų normos įgyja
labai panašias reikšmes
2.4 PALŪKANŲ NORMŲ MODELIAVIMAS PAGAL HEATH, JARROW IR
MORTON (HJM) ALGORITMĄ
Šis modelis teigia, kad jei išankstinės normos pokyčiai yra pasiskirstę
pagal normalųjį skirstinį, tai išankstinių palūkanų normų pokyčiai tenkina
(1.2.7) atsitiktinę lygtį, kurios parametrus įvertiname pagal (1.2.8) ir
(1.2.9) formules.
Einamųjų
palūkanų normų modeliavimas
5.00% n
I 4.50%
-° 4.00% -=f 3.50% -i2 3.00%
-]Į 2.50%
-
2.00%
♦ Modeliuotos
B Tikros
2.12 pav. Tikrųjų
einamųjų palūkanų normų palyginimas su modeliuotomis HJM modelio
reikšmėmis
2.6 lentelė
HJM modeliavimo rezultatai
|
|
Aukcionų duomenys
|
Aukcione
fiksuota palūkanų norma
|
Modeliuoti
rezultatai
|
|
|
Trukmė,
m
|
Vidurkis
0.017
|
Dispersija
0.361
|
||
|
1
|
2.080%
|
2.08%
|
||
|
2
|
-0.043
|
0.144
|
2.561%
|
2.63%
|
|
3
|
-0.028
|
0.065
|
3.049%
|
3.09%
|
|
5
|
-0.029
|
0.044
|
3.720%
|
3.73%
|
|
7
|
-0.071
|
0.085
|
4.337%
|
4.39%
|
|
10
|
-0.027
|
0.028
|
4.831%
|
4.87%
|
Šiuo metodu buvo modeliuotos palūkanų normos atitinkančios obligacijų
trukmei. Kaip matome iš grafiko ir 2.5 lentelės rezultatai nėra blogi, gal nežymiai
blogesni nei ankstesniais modeliavimo algoritmais.
2.5 MODELIAVIMO
PALYGINIMAS
Kaip matome iš grafiko
beveik visi modeliai panašiai atvaizduoja palūkanų normas. CIR ir Vasicek
modelio rezultatai labai panašūs, skiriasi šiek tiek HJM modelio rezultatai.
2.7 lentelė
Nagrinėjamų
modelių palūkanų generavimo rezultatai
|
Modeliavimo rezultatai
|
|||
|
vasicek
|
cir
|
hjm
|
Tikros
|
|
2.08%
|
2.08%
|
2.08%
|
2.08%
|
|
2.73%
|
2.74%
|
2.63%
|
2.56%
|
|
3.22%
|
3.23%
|
3.09%
|
3.03%
|
|
3.59%
|
3.61%
|
3.41%
|
3.35%
|
|
3.88%
|
3.90%
|
3.73%
|
3.67%
|
|
4.10%
|
4.12%
|
4.06%
|
4.09%
|
|
4.28%
|
4.30%
|
4.39%
|
4.23%
|
|
4.42%
|
4.45%
|
4.55%
|
4.39%
|
|
4.53%
|
4.56%
|
4.71%
|
4.49%
|
|
4.62%
|
4.66%
|
4.87%
|
4.68%
|
Atlikę trijų modelių
analizę galima teigti, kad gavome gerus modeliavimo rezultatus. Nors Lietuvos
ekonomika atsigavusi neseniai, jau galima bandyti taikyti kažkuriuos palūkanų
dinamikos modelius. Kaip anksčiau pastebėjome „prognozavimo dinamika"
visiškai netinkamas būdas prognozuoti palūkanų normas. Nors darbe surinkau
duomenis nuo 1994 metų nagrinėjimui ėmiau tik paskutinių 4 metų duomenis,
kadangi ankstesnės kartos duomenys, esant nenustovėjusiai ekonomikai galėjo
iškreipti modeliavimą. Tą puikiai galime suprasti pažiūrėję į pirmųjų metų
Lietuvos Respublikos Vyriausybės iždo vekselių ar obligacijų duomenis.
Palūkanų normų modelių palyginimas
2.13 Palūkanų
normų modeliavimo palyginimas
2.5 NAUDOJIMOSI PROGRAMA
INSTRUKCIJA
Tiriamąjį darbą atlikau naudodamasis Microsoft Excel programa, bei Visual Basic programavimo
kalba. Mano apsisprendimą panaudoti šią programą lėmė jos populiarumas, tai
kiekvienam prieinamas programų paketas. Čia pakankamai lengvai galime atlikti
įvairius skaičiavimus, sudaryti grafikus, be to man pažystama programavimo
kalba Visual Basic.
Programą sudaro keletas darbo lapų: Obligacijos, Neisp_oblig,
Vekseliai, Neisp_veks, Model Vasic, HJM, Model CIR, Palūkanos, Min Max pal, Skaiciav. Visi darbo lapai skirti paskiriems darbams atlikti.
T\ Obligacijos
/ Neispjblig / Vekseliai /
Neisp_veks / Mcidel_Vasic /HJM / Mūdel_CIR / Palūkanos / Min Max pal /
Skaiciav
2.14 pav. Programos lapų struktūra
Duomenys sukaupti dvejuose darbo lapuose Obligacijos ir Vekseliai, iš
kurių ir gaunami pradiniai programai reikalingi dydžiai. Lape Obligacijos
sukaupta informacija apie Lietuvos Respublikos Vyriausybės išleistas 2, 3, 5, 7
ir 10 metų obligacijas. Lape Vekseliai surūšiuota informacija apie Lietuvos
Respublikos Vyriausybės iždo vekselius. Šiuose lapuose sukaupti visi reikalingi
duomenys tolimesniam nagrinėjimui.
Lapuose Neisp_oblig ir Neisp_veks sukaupti duomenys apie obligacijas ir
iždo vekselius, kurie dar nėra išpirkti. Formuojant šiuos lapus įvesta dalinė
klaidų kontrolė, kuri įspėja vartotoją ar suvestos išpirkimo datos. Tokiu būdu
papildžius esamą duomenų bazę naujais duomenimis apsisaugoma nuo netinkamos
informacijos. Jeigu aptinkamas tuščias langelis programa išmeta pranešimą.
Pranešimas X
Klaida nuskaitant duomenis iš lapo
'Obligacijos'. ^t^9 Klaida
34 eilutije, 7 stulpelyje Prašau pataisykit klaida
OK
2.15 pav. Klaidos
pranešimas
Visi reikalingi duomenys gaunami iš praeities sandorių, kuriuose
nupirkti vertybiniai popieriai, bet dar neišpirkti. Paprastai palūkanos dažnai
nesikeičia, tačiau norint gauti kuo tikslesnius rezultatus kiekvieną kartą
reikia atnaujinti neišpirktų vertybinių popierių bazę. Tuo tikslu reikia
įvykdyti
(nuspausti) atnaujinamų
vertybinių popierių mygtuką. Obligacijų bazei atnaujinti naudojamas mygtukas
Atnaujinti. Lygiai taip pat ir su iždo vekseliais. Norint gauti dar neišpirktus
vertybinius popierius tereikia nuspausti mygtuką Neispirkti Izdo vekseliai. Be
to yra pranešama kurią dieną paskutinį kartą buvo atnaujinta informacija.
Lape Min Max pal sukaupta informacija apie aukščiausias ir žemiausias palūkanas 1999 -
2004 metais. Iš atitinkamų lentelių galime spręsti apie mokamas palūkanas už
vertybinius popierius praeityje ir šiais metais. Jei lentelės langelis
neužpildytas, vadinasi tais metais tokio termino vertybiniai popieriai nebuvo
parduoti.
2.8. lentelė
Informacija apie 2004 metų vertybinių popierių
pelningumą
Patvirtintos aukščiausios ir žemiausios palūkanos 2004
m.
|
|
|
Aukščiausios
|
|
|
|
|
|
VVP
|
Sutrumpinimas
|
palūkanos
|
Žemiausios palūkanos
|
Pokytis
|
||
|
|
|
Data
|
Palūkanos
|
Data
|
Palūkanos
|
|
|
1 mėn. trukmės iždo vekseliai
|
0.08
|
|
|
|
|
|
|
3 mėn. trukmės iždo vekseliai
|
0.25
|
|
|
|
|
|
|
6 mėn. trukmės iždo vekseliai
|
0.5
|
1/5/2004
|
2.372%
|
3/15/2004
|
1.8900%
|
0.482%
|
|
12 mėn. trukmės iždo
|
|
|
|
|
|
|
|
vekseliai
|
1
|
1/19/2004
|
2.360%
|
3/29/2004
|
1.800%
|
0.560%
|
|
2 metų obligacijos
|
2
|
|
|
|
|
|
|
3 metų obligacijos
|
3
|
1/26/2004
|
3.580%
|
2/23/2004
|
2.480%
|
1.100%
|
|
5 metų obligacijos
|
5
|
2/2/2004
|
3.937%
|
4/5/2004
|
3.395%
|
0.542%
|
|
7 metų obligacijos
|
7
|
|
|
|
|
|
|
10 metų obligacijos
|
10
|
1/12/2004
|
4.881%
|
3/8/2004
|
4.472%
|
0.409%
|
Lape Palūkanos sukaupti rezultatai iš pradinių duomenų: informacija
apie atskirų metų, atskirų pelningumų vertybinių popierių pajamingumą,
apskaičiuotos einamosios, trumpalaikės ir išankstinės palūkanų normos.
Lentelėje Obligacijų pajamingumas pilka spalva išskirti kotiruojamų vertybinių
popierių atskirų trukmių pajamingumai, nustatyti iš esamų duomenų. Kiti
pajamingumai yra apskaičiuoti naudojantis atskiras formules.
Lapai Model Vasic, Model
CIR, HJM skirti modeliuoti pagal atskirus modelius. Atskirus modelius atitinka
lapo pavadinimas. Kiekviename lape yra po grafiką, kuris atvaizduoja
modeliavimo ir tikras palūkanas, mokamas už vertybinius popierius.
Lapas Skaiciav skirtas tarpiniams rezultatams gauti.
Jei programos dalis darbą gerai atliko turime pamatyti
štai tokį pav.
2.14 pav. Darbo
dalies sėkminga pabaiga
IŠVADOS
>
Vasicek palūkanų
kitimo modelis yra tinkamas naudoti Lietuvos Respublikos Vyriausybės skolos
vertybinių popierių rinkoje, nustatant palūkanų normas
>
HJM ir CIR modelis
irgi tinkami naudoti nustatant palūkanų normas.
>
CIR modelis
artimas Vasicek modeliui.
>
Visais atvejais
nepastovumo parametras turi tendencija mažėti didėjant metų skaičiui
>
Nagrinėjant
palūkanų normas reikia atkreipti dėmesį, kad neverta naudoti „senų"
dešimties metų duomenų, kadangi jie neatvaizduoja realios dabartinės padėties.
>
Kadangi
išleidžiami vis ilgesnės trukmės skolos vertybiniai popieriai - tai rodo, kad
Lietuvos ekonomika nusistovi.
LITERATŪRA
1.
Valakevičius E.
Investicijų mokslas. Kaunas: Technologija, 2001.- 324p
2.
Jarrow & Turnbull
Derivative securities. South Western College Publishing,2000.-684p.
3.
Simon Benninga. Financial
Modeling. Cambridge: The MIT Press, 1997.- 416p
4.
Jackson M., Staunton M.
Advanced Modelling in Finance using Excel and VBA. Wiltshire: John Willey & Sons,
LTD, 2001.-
269p
5.
Statistika ir
duomenų analizės programinė įranga. Distancinio mokymo kursas. Projekto vadovas
V. Janilionis.- Kaunas: KTU, 1999. - http ://fmf.ktu. lt/ianil/statL htm
6.
Vidžiūnas A.,
Marčiulynienė R. Excel 97 ir 2000, uždavinių
sprendimas ir programavimas.-Kaunas: Smaltijos leidykla, 1999.- 208 p.
7.
Starkus B. Visual
Basic 6 Jūsų kompiuteryje. Kaunas: Smaltija, 2002.- 284p
8.
Chan K. C. The new
interest rate models. Journal of finance 1992. P. 87 - 100.
9.
Ahlgrim K., D'arcy
S. Parameterising interset rate models 1998.
12. Viktorija Baršauskienė, Irena Mačerinskienė. Studijų darbų parengimo
tvarka. Kaunas:
Technologija, 2002, 79 p.
14. Algiment Aleksa. Taikomoji matematika: V studentų konferencijos
pranešimų medžiaga. -
Kaunas: Technologija,
2004. P. 8 - 9.
Komentarų nėra:
Rašyti komentarą