Skolinimasis su nerizikingąja palūkanų norma Rf

Bus naudojamas terminas „skolinimasis su nerizikingąja palūkanų norma Rf" Tariama, kad už vertybinį popierių yra gaunama Rf palūkanų norma, ir ši investicija yra nerizikinga. Atsisakoma apribojimų x_t > 0. Tada skolinimasis su nerizikingąja palūkanų norma taip pat bus galimas. Pirmiausiai nagrinėjamas atvejis, kai skolinimas ar skolinimasis su nerizikingąja palūkanų norma (a = 0) yra derinamas su investicija į portfelį A, sudarytą iš rizikingų investicijų. Tegu a yra kapitalo dalis, investuota į A. Galimybė skolintis su nerizikingąja palūkanų norma reiškia, kad nėra jokių apribojimų apimčiai, kuri gali būti investuota į A, todėl a gali būti didesnė už 1. E(r_a ) yra vidutinė pelno norma, kuri bus gauta už rizikingą investiciją į A. Tada vidutinė portfelio pelno norma

Taškas M reiškia, kad visas investicinis kapitalas įdėtas į rizikingus vertybinius popierius, t.y. a = 1, todėl a_p =a_A. Taške R_f visas kapitalas investuotas į nerizikingąjį vertybinį popierių (a_p = 0).

Investuotojas, darydamas prielaidą, kad pasirinkta alternatyva naudingesnė už likusias, gali pasirinkti investiciją taške M, taške R f , tarp taškų R f ir M arba į dešinę nuo taško M.

Taškai tarp R_f ir M reiškia, kad dalis kapitalo yra investuota į nerizikinguosius vertybinius

popierius, t.y. a< 1 arba a_p <a_A, o likusi dalis į rizikinguosius vertybinius popierius. Portfelio

pasirinkimas už taško M reiškia, kad investuotojas investuoja daugiau negu 100% savo kapitalo į rizikinguosius vertybinius popierius, t.y. a> 1 arba a_p >a_A. Kadangi a> 1, tai 1 -a yra neigiamas

skaičius. Tai reiškia, kad investuotojas yra kartu ir skolininkas (vertybinių popierių leidėjas su nerizikingąja palūkanų norma). Tiesės  RfM   krypties koeficientas priklauso nuo nagrinėjamų

rizikingųjų popierių vidutinės pelno normos. Skirtingiems rizikingiems popieriams turėsime skirtingas tieses, prasidedančias taške R_f.

(1.2) paveiksle tiesėje R_fM taškas M nurodo, kad 100% kapitalo investuota į rizikingus

vertybinius popierius. Kiekvienas efektyviųjų portfelių kreivės taškas irgi nurodo 100% investavimą į rizikingus vertybinius popierius. Sudėję abu grafikus į vieną gausime, kad tiesė R_fMF yra efektyviųjų

portfelių kreivės liestinė.

1.3 pav. Efektyviųjų portfelių kreivės liestinė

Iš brėžinio matyti, kiek yra galimybių pasirinkti rizikingąjį portfelį kartu su nerizikinguoju vertybiniu portfeliu. Užuot investavęs į portfelį C, investuotojas geriau investuos dalį į portfelį ir dalį į nerizikingus vertybinius popierius sudarydamas geresnį portfelį taške M;, esantį atkarpoje RfM .

Analogiškai, užuot investavęs į portfelį D, jis investuos į rizikingąjį portfelį ir, skolindamasis su nerizikingąja palūkanų norma, pasieks geresnį portfelį tiesės FM taške M₂. Matome, kad visi taškai, esantys kreivėje BM, yra žemiau taškų, esančių atkarpoje R_fM . Nauja efektyvioji kreivė yra R_fME,

jei investuotojui neleidžiama skolintis, arba tiesė R_fMF, jei investuotojas gali neribotai skolintis su

nerizikingąja palūkanų norma. Tiesė R_f MF vadinama kapitalo rinkos tiese (capital market line).

Efektyvioji portfelių kreivė (tiesė) RfMF turi tik vieną portfelį, susidedantį iš rizikingųjų

investicijų. Kaip vėliau bus parodyta, šis portfelis sudarytas iš visų rizikingųjų vertybinių popierių, esančių rinkoje tokiu santykiu, kokį atitinka atskiro vertybinio popieriaus vertės santykis su visų rinkos vertybinių popierių verte. Investuotojas, norintis dalyvauti vertybinių popierių rinkoje ir norėdamas investuoti dalį ar visą savo kapitalą į rizikingas investicijas, privalo turėti visą rinkos portfelį. Kiek kapitalo bus skirta portfeliui ir kiek nerizikingajai investicijai, priklauso nuo investuotojo rizikos vengimo laipsnio. Konservatyvusis (nuosaikusis) investuotojas pasirinks kombinaciją, esančią į kairę nuo taško M, o agresyvusis (mėgstantis rizikuoti) investuotojas pasirinks kombinaciją į dešinę nuo taško M.

Jei portfelis nebūtų sudarytas iš visų rizikingųjų vertybinių popierių, esančių rinkoje, tai kiekvienas investuotojas galėtų pagerinti portfelį. Iš to išplaukia teorema.

Teorema. Jei portfelis susideda iš n-1 vertybinio popieriaus rinkoje, kurioje yra n vertybinių popierių, tai visada bus būdas (keičiant proporcijas į vertybinius popierius) sudaryti portfelį iš n-1 vertybinio popieriaus ir n-tojo vertybinio popieriaus, kad investuotojas gautų didesnę pelno normą.

Todėl rinkos portfelis turi būti sudarytas iš visų rinkos vertybinių portfelių; priešingu atveju vertybinių popierių rinkoje nebus pusiausvyros, t.y. nebus išpildyta pagrindinė modelio prielaida. ► Įrodymas. Nagrinėkime vertybinį popierių   kuris nėra įtrauktas į M portfelį ir yra žemiau kapitalo rinkos tiesės, kaip parodyta 1.4 paveiksle:

Investuotojas, įdėjęs visą savo kapitalą į portfelį K, sudarytą iš popieriaus i ir rinkos portfelio M, gaus vidutinę pelno normą

^e(rk ⁾ = ^x,^E{^R,)+ x_ME(R_M ⁾,   x, + x_M = ¹

(1.6)

Portfelio K dispersija

2        2    2        2     2

^GK = ^xi ^CTi  + ^xM ^CTM + ^2xi^xM^rM ^Gi^G,

(1.7)

Kreivę, jungiančią i su M, lemia koreliacijos koeficientas r_M . Jei r_M = 1, tai taškai i ir M bus sujungti tiesės atkarpa. Efektyviam portfeliui sudaryti yra reikalaujama, kad kapitalo rinkos tiesė būtų liestinė kreivei iM. Jei šis reikalavimas neišpildomas, tai kreivė iM kirs kapitalo rinkos tiesę, o tai reiškia, kad egzistuoja portfelis su geresnėmis rizikos - pelno charakteristikomis, negu sudarytasis rinkos portfelis. Šis faktas rodo, kad rinkoje nėra pusiausvyros. Todėl kapitalo rinkos tiesė turi liesti kreivę iM ir todėl portfelis M turi būti sudarytas iš visų rinkos vertybinių popierių. ◄

Galima padaryti tokią išvadą, kad visi efektyvieji portfeliai, duodantys maksimalų vidutinį pelną apibrėžtam rizikos laipsniui, yra tiesėje R_fM .

1.3 VERTYBINIŲ POPIERIŲ RINKOS TIESĖ

Nagrinėkime portfelį K, sudarytą iš atskiro rizikingojo vertybinio popieriaus i, nepriklausančio rinkos portfeliui M, ir rinkos portfelio M. Tegu x_i yra investicijų dalis į vertybinį popierių i, o x_M = 1 - x_i į portfelį M. Iš (1.16) ir (1.17) apskaičiuojamos dalinės išvestinės x_t atžvilgiu

9E(Rk )

e(r, )- e(Rm )

(1.8)

iM

(1.9)

Kreivės iM liestinės krypties koeficientas taške x_i lygus

(E(R, 2 — E(RM ))gk

dE (R_K )=3E(r_k 2 / dx,

^dGK          ^dGK ^{/ dx} i        į ⁽² +<t M ^{— 2g} m) + ^G M ^—Gll]

(1.10)

Kreivės M krypties koeficientas taške M lygus

3E(Rk) I

x_i =0

[e(r,) — e(Rm )Gm

_—    2

(1.11)

nes, kai x_i = 0, tai g_k =g_m .

Taške M rinkos kapitalo tiesė yra liestinė kreivei M, todėl, pasinaudoję (1.5) lygybe, turime

^{E (R}M ^{) — R}f =[E(R.) — e(Rm )Gm

(1.12)

E(Ri) — e(Rm) -

^(e(rm ^{) — R}f \^gm ^— gM)

(1.13)

^e(r,²=^Rf

+

(e(Rm) — Rf)

(1.14)

Lygtis (1.14) atitinka tiesę, kuri vadinama vertybinių popierių rinkos tiese (security market line). Ji aprašo tiesinį ryšį tarp vidutinės vertybinio popieriaus pelno normos ir rizikos, matuojamos

dydžiu

' M

-- P_i. Kuo didesnė p_i reikšmė, tuo didesnė vidutinė pelno norma. Reikia pabrėžti, kad

vertybinio popieriaus vidutinis pelnas priklauso nuo kovariacijos tarp i ir M pelno normų. Išraiška e(r_m) — r f  yra vadinama rinkos rizikos premija (market risk premium),  p_i  vadinamas beta

koeficientu.